Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ comme une équation.

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 - 3 y, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$4 - 3 y, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 - 3 y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ par $4 - 3 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ par $4 - 3 y$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4 - 3 y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y = x (4 - 3 y)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

Étape 3.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.3.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

Étape 3.3.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y = 4 x - 3 x y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $3 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y + 3 x y = 4 x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y + 3 x y$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $3 x y$ .

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 2 + y (3 x)$ .

$y (2 + 3 x) = 4 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y (2 + 3 x) = 4 x$ par $2 + 3 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (2 + 3 x) = 4 x$ par $2 + 3 x$ .

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 + 3 x$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Étape 5.2.3

Associez $4$ et $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $3$ et $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.4

Réécrivez $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 - 3 x) + 6 x$ .

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Étape 5.2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.4.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.4.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $4 - 3 x$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.3

Associez $2$ et $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Associez $- 3$ et $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.1.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.3

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 + 3 x) - 12 x$ .

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Étape 5.3.4.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.5.2

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.5.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $2 + 3 x$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$