Pré-calcul Exemples

$\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 9}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 9 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 9$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Étape 2.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{9}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq | 3 |$

Étape 2.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$| x | \geq 3$

Étape 2.4

Écrivez $| x | \geq 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 3$

Étape 2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 3$

Étape 2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 3$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Étape 2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x \leq - 3$

Étape 2.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{4 - \sqrt{x^{2} - 9}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 - \sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- \sqrt{x^{2} - 9} = - 4$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{x^{2} - 9})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 9}$ comme ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${(- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 9)}^{1} = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Simplifiez

$x^{2} - 9 = {(- 4)}^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 9 = 16$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16 + 9$

Étape 4.4.1.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$x^{2} = 25$

Étape 4.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 4.4.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 4.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 4.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 4.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 3] \cup [3, 5) \cup (5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 3, x \geq 3, x \neq 5, - 5}$

Étape 6