Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ comme une équation.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez ${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt[7]{y}}^{3}$ comme $\sqrt[7]{y^{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

Étape 3.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

Étape 3.2

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

Étape 3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{y^{3}}$ comme $y^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $343$ .

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun de $343$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Étape 3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

Étape 3.6

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{7}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.1.1.2

Simplifiez

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Simplifiez ${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $343 x$ .

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.2.1.1.2

Réécrivez $343$ comme $7^{3}$ .

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.2.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

Étape 3.7.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $7$ .

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

Étape 5.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

Étape 5.2.4

Réécrivez ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x}$ comme $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

Étape 5.2.4.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Étape 5.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Étape 5.2.5

Élevez $7$ à la puissance $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $823543$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $823543 x^{\frac{7}{3}}$ comme ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

Étape 5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Étape 5.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.4.2.1

Divisez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.3.4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$