Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$1 - x \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Étape 4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x - 2 x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x$ .

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.5

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 4.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 4.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (2 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 4.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 4.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Étape 4.8.1.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 4.8.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Étape 4.8.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Étape 4.8.3.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 4.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 2$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ comme ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2

Factorisez $2 u$ à partir de $4 u - 2 u^{2}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $2 u$ à partir de $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.2

Factorisez $2 u$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Étape 6.3.1.2.3

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Étape 6.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Étape 6.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.4

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.4.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 6.3.4.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 6.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 6.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (2 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 1]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 < x \leq 1}$

Étape 8