Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.6

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.8

Évaluez la limite.

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Étape 3.8.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.8.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.8.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

Étape 3.8.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 3.9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{6}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Étape 3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Étape 3.10.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Étape 3.10.1.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Étape 3.10.1.4

Additionnez $0 + 0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Étape 3.10.1.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Étape 3.10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 3.10.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

Étape 3.10.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 3.10.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7