Pré-calcul Exemples

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{3}$

Étape 2

Utilisez la formule pour une séquence géométrique $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ afin de déterminer le nombre de termes, $n$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs du premier terme, du dernier terme et du rapport entre termes dans la formule.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 2.2

Résolvez $n$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ par $12$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ par $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Étape 2.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Étape 2.2.2.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

Étape 2.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.2.2.3.3

Multipliez $\frac{1}{243}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

Étape 2.2.2.3.4

Multipliez $243$ par $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

Étape 2.2.3

Multipliez les deux côtés par $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3^{n - 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Étape 2.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.2.1

Associez $\frac{1}{729}$ et $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

Étape 2.2.5

Résolvez $n$ .

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Étape 2.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ .

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

Étape 2.2.5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $729$ .

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Étape 2.2.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Étape 2.2.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

Étape 2.2.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.3.2.1

Multipliez $729$ par $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

Étape 2.2.5.4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

Étape 2.2.5.5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$n - 1 = 6$

Étape 2.2.5.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.5.6.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$n = 6 + 1$

Étape 2.2.5.6.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$n = 7$

Étape 3

Utilisez la formule pour la somme d’une séquence géométrique $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ afin de déterminer la somme.

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs du premier terme, du rapport et du nombre de termes dans la somme formule.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.7.2

Soustrayez $2187$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.9

Associez les exposants.

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Étape 3.2.1.9.1

Factorisez le signe négatif.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.9.2

Associez $- 12$ et $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.9.3

Multipliez $- 12$ par $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10

Annulez le facteur commun à $- 26232$ et $2187$ .

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Étape 3.2.1.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 26232$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $2187$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.12

Associez les exposants.

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Étape 3.2.1.12.1

Factorisez le signe négatif.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.12.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.12.3

Multipliez $\frac{8744}{729}$ par $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.2.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 3.2.2.4.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 3.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $8744$ .

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

Étape 3.2.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 3.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 3.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

Étape 3.2.6

Associez $\frac{4372}{243}$ et $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

Étape 3.2.7

Multipliez $4372$ par $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

Étape 3.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$