Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ comme une équation.

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 {(y - 5)}^{7} = x$ .

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $5 {(y - 5)}^{7} = x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 {(y - 5)}^{7} = x$ par $5$ .

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez ${(y - 5)}^{7}$ par $1$ .

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

Étape 3.5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ est l’inverse de $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ et $\sqrt[7]{5}$ en un radical unique.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Étape 5.2.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Réduisez l’expression $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Étape 5.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez ${(x - 5)}^{7}$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

Étape 5.2.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

Étape 5.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Étape 5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ comme $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x}$ comme $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Étape 5.3.5.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Étape 5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Étape 5.3.5.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Étape 5.3.6

Réécrivez ${\sqrt[7]{5}}^{7}$ comme $5$ .

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Étape 5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{5}$ comme $5^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Étape 5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Étape 5.3.6.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Étape 5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Étape 5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ est l’inverse de $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$