Pré-calcul Exemples

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$ est indéfinie.

$x = - 1$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2} + 69 x + 168$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 69 x + 168}{x + 1}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $69 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 168}{x + 1}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $168$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Étape 5.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{2}) + 3 (23 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Étape 5.1.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x + 56)}{x + 1}$

Étape 5.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 56 = 112$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 (x) + 56)}{x + 1}$

Étape 5.1.2.1.2

Réécrivez $23$ comme $7$ plus $16$

$\frac{3 (2 x^{2} + (7 + 16) x + 56)}{x + 1}$

Étape 5.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x^{2} + 7 x + 16 x + 56)}{x + 1}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 7 x) + 16 x + 56)}{x + 1}$

Étape 5.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 (x (2 x + 7) + 8 (2 x + 7))}{x + 1}$

Étape 5.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 7$ .

$\frac{3 ((2 x + 7) (x + 8))}{x + 1}$

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Étape 5.2

Développez $3 (2 x + 7) (x + 8)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 (2 x) + 3 \cdot 7) (x + 8)}{x + 1}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) (x + 8) + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.7

Déplacez $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.8

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.14

Multipliez $6$ par $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.15

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.16

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 21 \cdot 8}{x + 1}$

Étape 5.2.17

Multipliez $21$ par $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 168}{x + 1}$

Étape 5.2.18

Additionnez $48 x$ et $21 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 69 x + 168}{x + 1}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$6 x^{2}$

$69 x$

$168$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$6 x$
	$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} + 6 x$

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $63 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					+	$63 x$	+	$63$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $63 x + 63$

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$
							+	$105$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$6 x + 63 + \frac{105}{x + 1}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 6 x + 63$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 6 x + 63$

Étape 7