Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 2 \geq 0$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - \sqrt{x + 2} \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x + 2} \geq - x$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Simplifiez

$x + 2 \geq {(- x)}^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez ${(- x)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$x + 2 \geq {(- 1)}^{2} x^{2}$

Étape 4.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x + 2 \geq 1 x^{2}$

Étape 4.3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x + 2 \geq x^{2}$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x + 2 - x^{2} \geq 0$

Étape 4.4.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x + 2 - x^{2} = 0$

Étape 4.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x + 2 - x^{2}$ .

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Étape 4.4.3.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.4.3.1.1.1

Déplacez $2$ .

$x - x^{2} + 2 = 0$

Étape 4.4.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 2 = 0$

Étape 4.4.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

Étape 4.4.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

Étape 4.4.3.1.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 4.4.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 4.4.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 4.4.3.2

Factorisez.

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Étape 4.4.3.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 4.4.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 4.4.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 4.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.4.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.4.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.4.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.4.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 4.5

Déterminez le domaine de $x - \sqrt{x + 2}$ .

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Étape 4.5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 2 \geq 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 4.5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 2, \infty)$

Étape 4.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq 2$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 2}$

Étape 6