Pré-calcul Exemples

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x^{2}}{x + 1} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 1$

Étape 2.6

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 1$

Étape 2.7

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2}}{x + 1}$ .

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Étape 2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 2.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2}}{(- 4) + 1} \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 5.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{(- 0.5) + 1} \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) + 1} \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Vrai

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x \leq 0$ ou $x \geq 0$

Étape 2.11

Associez les intervalles.

$x > - 1$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - 1}$

Étape 6