Pré-calcul Exemples

$\frac{(2 x + 3) (x - 4)}{3 (x - 4)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{(2 x + 3) (x - 4)}{3 (x - 4)}$ est indéfinie.

$x = 4$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) - 12}{3 x - 12}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $3$ plus $- 8$

$\frac{2 x^{2} + (3 - 8) x - 12}{3 x - 12}$

Étape 6.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12}{3 x - 12}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} + 3 x) - 8 x - 12}{3 x - 12}$

Étape 6.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x + 3) - 4 (2 x + 3)}{3 x - 12}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 4)}{3 x - 12}$

Étape 6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 12$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 4)}{3 (x) - 12}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 4)}{3 x + 3 \cdot - 4}$

Étape 6.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 4)}{3 (x - 4)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 3) (x - 4)}{3 (x - 4)}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 3}{3}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3$

$2 x$

$3$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3$ .

			$\frac{2 x}{3}$
	$3$		$2 x$	+	$3$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{2 x}{3}$
$3$		$2 x$	+	$3$
	+	$2 x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x$

		$\frac{2 x}{3}$
$3$		$2 x$	+	$3$
	-	$2 x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{2 x}{3}$
$3$		$2 x$	+	$3$
	-	$2 x$
		$0$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{2 x}{3}$
$3$		$2 x$	+	$3$
	-	$2 x$
		$0$	+	$3$

Étape 6.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 6.9

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$\frac{2 x}{3} + 1$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{2 x}{3}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{2 x}{3}$

Étape 8