Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$ est indéfinie.

$x = - 7, x = 3$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 4 x^{2} - 21 x$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 21 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 6.1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ .

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 6.1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21$ .

$\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $4$ .

$- 3, 7$

Étape 6.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} + 4 x - 21}$

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $4$ .

$- 3, 7$

Étape 6.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Étape 6.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 6.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Étape 6.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Étape 6.1.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x$

Étape 6.2

Comme il n’y a pas de partie polynomiale issue de la portion division polynomiale, il n’y a aucune asymptote oblique.

Aucune asymptote oblique

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 8