Pré-calcul Exemples

$f (x) = - \frac{4}{5} x^{2} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 4}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Étape 1.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{4 \cdot x^{2}}{5} + \frac{48}{5} x - \frac{114}{5}$

Étape 1.1.3

Associez $\frac{48}{5}$ et $x$ .

$y = - \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{48 x}{5} - \frac{114}{5}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{4}{5}$

$b = \frac{48}{5}$

$c = - \frac{114}{5}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{48}{5}}{2 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{48}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$d = \frac{2 (24)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 24}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{4}{5}}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $\frac{24}{5}$ par $\frac{1}{- \frac{4}{5}}$ .

$d = \frac{24}{5 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = \frac{24}{- 5 (\frac{4}{5})}$

Étape 1.2.3.2.5

Associez $- 5$ et $\frac{4}{5}$ .

$d = \frac{24}{\frac{- 5 \cdot 4}{5}}$

Étape 1.2.3.2.6

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$d = \frac{24}{\frac{- 20}{5}}$

Étape 1.2.3.2.7

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $5$ .

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Étape 1.2.3.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5}}$

Étape 1.2.3.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 (1)}}$

Étape 1.2.3.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{24}{\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 1}}$

Étape 1.2.3.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{24}{\frac{- 4}{1}}$

Étape 1.2.3.2.7.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$d = \frac{24}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.8

Annulez le facteur commun à $24$ et $- 4$ .

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Étape 1.2.3.2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$d = \frac{4 (6)}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.8.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Étape 1.2.3.2.9

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$d = - 6$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{{(\frac{48}{5})}^{2}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{48}{5}$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{48^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $48$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{5^{2}}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{4 (- \frac{4}{5})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- 4 (\frac{4}{5})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{4}{5}$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 4 \cdot 4}{5}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{\frac{- 16}{5}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{114}{5} - \frac{\frac{2304}{25}}{- \frac{16}{5}}$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} (- \frac{5}{16}))$

Étape 1.2.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{16}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{2304}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Étape 1.2.4.2.1.6.2

Factorisez $16$ à partir de $2304$ .

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 (144)}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Étape 1.2.4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{16 \cdot 144}{25} \cdot \frac{- 5}{16})$

Étape 1.2.4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{25} \cdot - 5)$

Étape 1.2.4.2.1.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.4.2.1.7.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 (5)} \cdot - 5)$

Étape 1.2.4.2.1.7.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 1.2.4.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 1.2.4.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{114}{5} - (\frac{144}{5} \cdot - 1)$

Étape 1.2.4.2.1.8

Associez $\frac{144}{5}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{144 \cdot - 1}{5}$

Étape 1.2.4.2.1.9

Multipliez $144$ par $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} - \frac{- 144}{5}$

Étape 1.2.4.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{114}{5} - - \frac{144}{5}$

Étape 1.2.4.2.1.11

Multipliez $- - \frac{144}{5}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{114}{5} + 1 (\frac{144}{5})$

Étape 1.2.4.2.1.11.2

Multipliez $\frac{144}{5}$ par $1$ .

$e = - \frac{114}{5} + \frac{144}{5}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 114 + 144}{5}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $- 114$ et $144$ .

$e = \frac{30}{5}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $30$ par $5$ .

$e = 6$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$ .

$- \frac{4}{5} {(x - 6)}^{2} + 6$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{4}{5} \cdot {(x - 6)}^{2} + 6$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{4}{5}$

$h = 6$

$k = 6$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(6, 6)$

Étape 4