Pré-calcul Exemples

$\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 (x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1)}$ est indéfinie.

$x = 1$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 3$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x - 2}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x - 2}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x - 2}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x - 2}$

Étape 6.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x - 2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) - 2}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (- 1)}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 1)}{2}$

Étape 6.2

Développez $3 (x + 1)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1}{2}$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x + 3}{2}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2$

$3 x$

$3$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2$ .

			$\frac{3 x}{2}$
	$2$		$3 x$	+	$3$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	+	$3 x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x$

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{3 x}{2}$
$2$		$3 x$	+	$3$
	-	$3 x$
		$0$	+	$3$

Étape 6.9

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{3 x}{2}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{3 x}{2}$

Étape 8