Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 2 y = 8 x - 7$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = 8 x - 7 - x^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 8 x - 7 - x^{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 8 x - 7 - x^{2}$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x)}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (4 x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (4 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 x}{1} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.4

Divisez $4 x$ par $1$ .

$y = 4 x + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 4 x - \frac{7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 4 x - \frac{7}{2} - \frac{x^{2}}{2}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $4 x - \frac{7}{2} - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez $- \frac{7}{2}$ .

$4 x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 1.2.1.2

Remettez dans l’ordre $4 x$ et $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x - \frac{7}{2}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 4$

$c = - \frac{7}{2}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 2 (- 1 \cdot 2)$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = 2 \cdot - 2$

Étape 1.2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{7}{2} - (4 (- 1 \cdot 2))$

Étape 1.2.5.2.1.3

Multipliez $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e = - \frac{7}{2} - (4 \cdot - 2)$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$e = - \frac{7}{2} - - 8$

Étape 1.2.5.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$e = - \frac{7}{2} + 8$

Étape 1.2.5.2.2

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} + 8 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.5.2.3

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} + \frac{8 \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 7 + 8 \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$e = \frac{- 7 + 16}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Additionnez $- 7$ et $16$ .

$e = \frac{9}{2}$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = \frac{9}{2}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, \frac{9}{2})$

Étape 4