Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 x^{3} + 5$ comme une équation.

$y = 5 x^{3} + 5$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 y^{3} + 5$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 y^{3} + 5 = x$ .

$5 y^{3} + 5 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{3} = x - 5$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $5 y^{3} = x - 5$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $5 y^{3} = x - 5$ par $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $- 5$ par $5$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ .

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Étape 3.5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 3.5.2

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

Étape 3.5.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 3.5.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 3.5.7.2

Élevez $\sqrt[3]{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 3.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Étape 3.5.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ comme $5$ .

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Étape 3.5.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Étape 3.5.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Étape 3.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Étape 3.5.8.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

Étape 3.5.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

Étape 3.5.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $5 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $25$ par $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $125 x^{3}$ comme ${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Étape 5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ comme $25 (x - 5)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ comme ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $25$ par $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $25$ à partir de $25 x - 125$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.4.2

Factorisez $25$ à partir de $- 125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.2.4.3

Factorisez $25$ à partir de $25 x + 25 \cdot - 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $x - 5$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ est l’inverse de $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$