Pré-calcul Exemples

$\frac{\sqrt{x^{2} - 81}}{(x + 12) (x - 4)}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 81}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 81 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 81$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{81}$

Étape 2.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{81}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{81}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{9^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq | 9 |$

Étape 2.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$| x | \geq 9$

Étape 2.4

Écrivez $| x | \geq 9$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 9$

Étape 2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 9$

Étape 2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 9 & x \geq 0 \\ - x \geq 9 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 9$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 9$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 9$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{9}{- 1}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{9}{- 1}$

Étape 2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{9}{- 1}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Divisez $9$ par $- 1$ .

$x \leq - 9$

Étape 2.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 9$ ou $x \geq 9$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{x^{2} - 81}}{(x + 12) (x - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 12) (x - 4) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x + 12$ égal à $0$ .

$x + 12 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 4.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 12) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 12, 4$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, - 9] \cup [9, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 9, x \geq 9, x \neq - 12}$

Étape 6