Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20) = x$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{5} (5^{x + 1} - 20)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5^{x + 1} - 20 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’inégalité.

$5^{x + 1} > 20$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x + 1}) > \ln (20)$

Étape 2.3

Développez $\ln (5^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (5) > \ln (20)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Simplifiez $(x + 1) \ln (5)$ .

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) + 1 \ln (5) > \ln (20)$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$x \ln (5) + \ln (5) > \ln (20)$

Étape 2.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (20) = 0$

Étape 2.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{20}) = 0$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $5$ et $20$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 (1)}{20}) = 0$

Étape 2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Étape 2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Étape 2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (5) + \ln (\frac{1}{4}) = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $\ln (\frac{1}{4})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$

Étape 2.9

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 2.9.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 2.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Étape 2.9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Étape 2.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}}$

Étape 4