Pré-calcul Exemples

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$a^{2} - a + a b - b = 0$

Étape 2

Résolvez $a$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1 + b$ et $c = - b$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez ${(- 1 + b)}^{2}$ comme $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4

Développez $(- 1 + b) (- 1 + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.1.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.1.4

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.1.5

Multipliez $b$ par $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.2

Soustrayez $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.7

Additionnez $- 2 b$ et $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Étape 2.3.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = b$ et $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Réécrivez ${(- 1 + b)}^{2}$ comme $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Développez $(- 1 + b) (- 1 + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.1.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.1.4

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.1.5

Multipliez $b$ par $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.2

Soustrayez $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.6

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.4.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.7

Additionnez $- 2 b$ et $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.4.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Étape 2.4.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = b$ et $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Étape 2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

Étape 2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

Étape 2.4.4.2

Additionnez $- b$ et $b$ .

$a = \frac{0 + 2}{2}$

Étape 2.4.4.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$a = \frac{2}{2}$

Étape 2.4.5

Divisez $2$ par $2$ .

$a = 1$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Réécrivez ${(- 1 + b)}^{2}$ comme $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Développez $(- 1 + b) (- 1 + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.1.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.1.4

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.1.5

Multipliez $b$ par $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.2

Soustrayez $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.7

Additionnez $- 2 b$ et $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.5.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Étape 2.5.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = b$ et $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

Étape 2.5.4.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

Étape 2.5.4.4

Additionnez $- b - b$ et $0$ .

$a = \frac{- b - b}{2}$

Étape 2.5.4.5

Soustrayez $b$ de $- b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2}$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 b$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

Étape 2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{- b}{1}$

Étape 2.5.5.2.4

Divisez $- b$ par $1$ .

$a = - b$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $a$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${a | a \neq 1}$