Pré-calcul Exemples

$g (s) = \sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x + 4 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 2.4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 2.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 2.7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{4}{3}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 2.8

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{4}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 2.9

Déterminez le domaine de $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ .

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Étape 2.9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 2.9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.9.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 2.9.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 2.9.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.9.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 2.9.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 2.9.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 2.9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Étape 2.10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Étape 2.11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 2.11.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 5) + 4}{{(- 5)}^{2} - 5} \geq 0$

Étape 2.11.1.3

Le côté gauche $- 0.55$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.11.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 2) + 4}{{(- 2)}^{2} - 5} \geq 0$

Étape 2.11.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0) + 4}{{(0)}^{2} - 5} \geq 0$

Étape 2.11.3.3

Le côté gauche $- 0.8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.11.4.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (5) + 4}{{(5)}^{2} - 5} \geq 0$

Étape 2.11.4.3

Le côté gauche $0.95$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{5}$ Faux

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Vrai

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Faux

$x > \sqrt{5}$ Vrai

$x < - \sqrt{5}$ Faux

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Vrai

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Faux

$x > \sqrt{5}$ Vrai

Étape 2.12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}$ ou $x > \sqrt{5}$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 4.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 4.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}] \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}, x > \sqrt{5}}$

Étape 6