Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ est indéfinie.

$x = - 1, x = 3$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 6.1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 6.1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 6.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} + 6 x + 9$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

Étape 6.1.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

Étape 6.1.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 6.1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

Étape 6.1.2.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

Étape 6.1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 6.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

Étape 6.1.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

Étape 6.1.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

Étape 6.1.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 6.1.3.5.1

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

Étape 6.1.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2

Développez $- x (x - 2)$ .

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Étape 6.2.1

Inversez $x$ .

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.3

Déplacez $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.4

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Étape 6.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Étape 6.3

Développez $3 (x + 1)$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Étape 6.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Étape 6.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Étape 6.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 6.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 6.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

Étape 6.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Étape 6.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Étape 6.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

Étape 6.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x + 3$

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

Étape 6.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Étape 6.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

Étape 6.15

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Étape 6.16

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{x}{3} + 1$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{x}{3} + 1$

Étape 8