Pré-calcul Exemples

$g (x) = \frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ est indéfinie.

$x = - 1, x = 2$

Étape 2

Comme $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la gauche et $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la droite, $x = 2$ est une asymptote verticale.

$x = 2$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 6.2

Développez $(x - 2) (x + 1)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x (x + 1) - 2 (x + 1)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (x + 1)}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{1 + 1} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2}$

Étape 6.2.11

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} - x - 2}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$29 x$

$24$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$x$
	$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2} - 2 x$

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 3 x + 6$

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
									-	$30 x$	-	$30$

Étape 6.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 3 + \frac{- 30 x - 30}{x^{2} - x - 2}$

Étape 6.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 3$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 2$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 3$

Étape 8