Pré-calcul Exemples

$\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 1 \geq 0$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x + 1} + 1 \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x + 1} \geq - 1$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x + 1}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$x + 1 \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x + 1 \geq 1$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 1 - 1$

Étape 4.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x \geq 0$

Étape 4.5

Déterminez le domaine de $\sqrt{x + 1} + 1$ .

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Étape 4.5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 1 \geq 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 4.5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, \infty)$

Étape 4.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Étape 4.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(- 4) + 1} + 1 \geq 0$

Étape 4.7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 4.7.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(- 0.5) + 1} + 1 \geq 0$

Étape 4.7.2.3

Le côté gauche $1.70710678$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 4.7.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(2) + 1} + 1 \geq 0$

Étape 4.7.3.3

Le côté gauche $2.7320508$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Vrai

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Vrai

Étape 4.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 0$ ou $x \geq 0$

Étape 4.9

Associez les intervalles.

$x \geq - 1$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - 1}$

Étape 6