Pré-calcul Exemples

$g (t) = \frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (π - | t |)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$π - | t | > 0$

Étape 2

Résolvez $t$ .

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Étape 2.1

Écrivez $π - | t | > 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$t \geq 0$

Étape 2.1.2

Dans la partie où $t$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$π - t > 0$

Étape 2.1.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$t < 0$

Étape 2.1.4

Dans la partie où $t$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$π - - t > 0$

Étape 2.1.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π - - t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Étape 2.1.6

Multipliez $- - t$ .

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + 1 t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Étape 2.1.6.2

Multipliez $t$ par $1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Étape 2.2

Résolvez $π - t > 0$ quand $t \geq 0$ .

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Étape 2.2.1

Résolvez $π - t > 0$ pour $t$ .

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’inégalité.

$- t > - π$

Étape 2.2.1.2

Divisez chaque terme dans $- t > - π$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- t > - π$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{- π}{- 1}$

Étape 2.2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t}{1} < \frac{- π}{- 1}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t < \frac{- π}{- 1}$

Étape 2.2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$t < \frac{π}{1}$

Étape 2.2.1.2.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$t < π$

Étape 2.2.2

Déterminez l’intersection de $t < π$ et $t \geq 0$ .

$0 \leq t < π$

Étape 2.3

Résolvez $π + t > 0$ quand $t < 0$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’inégalité.

$t > - π$

Étape 2.3.2

Déterminez l’intersection de $t > - π$ et $t < 0$ .

$- π < t < 0$

Étape 2.4

Déterminez l’union des solutions.

$- π < t < π$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sin (t) - \frac{1}{2} = 0$

Étape 4

Résolvez $t$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Étape 4.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$t = π - \frac{π}{6}$

Étape 4.5

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 4.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.5.2

Associez les fractions.

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Étape 4.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 4.5.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Étape 4.6

Déterminez la période de $\sin (t)$ .

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Étape 4.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.7

La période de la fonction $\sin (t)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $t$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${t | - π < t < π, t \neq \frac{π}{6} + 2 π n, t \neq \frac{5 π}{6} + 2 π n}$

Étape 6