Pré-calcul Exemples

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Déterminez $f^{- 1} (x)$ .

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Étape 1.1

Écrivez $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ comme une équation.

$y = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$

Étape 1.2

Interchangez les variables.

$x = 6 y^{\frac{1}{3}} - 2$

Étape 1.3

Résolvez $y$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’équation comme $6 y^{\frac{1}{3}} - 2 = x$ .

$6 y^{\frac{1}{3}} - 2 = x$

Étape 1.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y^{\frac{1}{3}} - x = 2$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y^{\frac{1}{3}} = 2 + x$

Étape 1.3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.4.1.1

Simplifiez ${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 y^{\frac{1}{3}}$ .

$6^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.4.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.4.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$216 y^{1} = {(2 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.1.1.4

Simplifiez

$216 y = {(2 + x)}^{3}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez ${(2 + x)}^{3}$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$216 y = 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.2.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$216 y = 8 + 3 \cdot 2^{2} x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$216 y = 8 + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$216 y = 8 + 12 x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.4.2.1.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$

Étape 1.3.5

Divisez chaque terme dans $216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$ par $216$ et simplifiez.

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Étape 1.3.5.1

Divisez chaque terme dans $216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$ par $216$ .

$\frac{216 y}{216} = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $216$ .

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Étape 1.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{216 y}{216} = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $216$ .

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Étape 1.3.5.3.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$y = \frac{8 (1)}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.3.1.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $216$ .

$y = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $216$ .

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Étape 1.3.5.3.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x$ .

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 (x)}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.3.1.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $216$ .

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{12 \cdot 18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{12 \cdot 18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $216$ .

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Étape 1.3.5.3.1.3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 (x^{2})}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.3.1.3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $216$ .

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 36} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 36} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.3.5.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 1.5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ .

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Étape 1.5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 1.5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 1.5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 1.5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} - 2}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{2 (9)} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{2 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ .

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Étape 1.5.2.3.1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1))}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{2^{2} {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 ({(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{4 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{4 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.3.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ .

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Étape 1.5.2.3.1.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1))}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{2^{3} {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.8.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.9

Factorisez $8$ à partir de $8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 ({(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3})}{216}$

Étape 1.5.2.3.1.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.10.1

Factorisez $8$ à partir de $216$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{8 \cdot 27}$

Étape 1.5.2.3.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{8 \cdot 27}$

Étape 1.5.2.3.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27}$

Étape 1.5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9}$

Étape 1.5.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.3.1

Réécrivez ${(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ comme $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.2

Développez $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 1.5.2.3.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.3.3.3.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.3.3.2

Soustrayez $3 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{9}$

Étape 1.5.2.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.5.2.3.4.1

Associez les termes opposés dans $3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

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Étape 1.5.2.3.4.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 0}{9}$

Étape 1.5.2.3.4.1.2

Additionnez $3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

Étape 1.5.2.3.4.2

Soustrayez $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

Étape 1.5.2.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.5.1

Factorisez $3 x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.5.2.3.5.1.1

Factorisez $3 x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) - 3 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

Étape 1.5.2.3.5.1.2

Factorisez $3 x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 1)}{9}$

Étape 1.5.2.3.5.1.3

Factorisez $3 x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Étape 1.5.2.3.5.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{9}$

Étape 1.5.2.3.5.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.2.3.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.2.3.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.3.7.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1^{3} + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{(1 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3

Simplifiez

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Étape 1.5.2.3.7.1.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{(3 x^{\frac{1}{3}} + 0) (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.2

Additionnez $3 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.7

Réécrivez ${(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ comme $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.8

Développez $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.3.7.1.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.9.2

Soustrayez $3 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}} + 2 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.11

Soustrayez $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 9 x^{\frac{1}{3}} + 2 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.12

Additionnez $2$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 9 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (9 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.14

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3$ .

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Étape 1.5.2.3.7.1.3.14.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.14.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.14.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.14.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}})$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.14.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.1.3.15

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.7.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{9 \cdot 3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.3.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{9 \cdot 3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.7.3.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.2

Simplifiez

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Étape 1.5.2.3.9.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.2.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.9.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.3.9.3.1.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{3}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.2

Simplifiez $3 x^{1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.3.9.3.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.3.9.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.4.1

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $3 x - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

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Étape 1.5.2.4.1.1

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $3 x$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.1.3

Multipliez par $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.1.4

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.1.5

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.1.6

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.2

Additionnez $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ et $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0 + 1 - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.3

Additionnez $3 x^{\frac{2}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 1 - 1)}{3}$

Étape 1.5.2.4.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0)}{3}$

Étape 1.5.2.4.5

Additionnez $3 x^{\frac{2}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Étape 1.5.2.4.6

Associez les exposants.

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Étape 1.5.2.4.6.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.4.6.1.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Étape 1.5.2.4.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Étape 1.5.2.4.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3}$

Étape 1.5.2.4.6.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3}$

Étape 1.5.2.4.6.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Étape 1.5.2.4.6.2

Simplifiez $x^{1} \cdot 3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Étape 1.5.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Étape 1.5.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = x$

Étape 1.5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 1.5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 1.5.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Étape 1.5.3.3

Déplacez $\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Étape 1.5.3.4

Déplacez $\frac{x}{18}$ .

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Étape 1.5.3.5

Remettez dans l’ordre $\frac{x^{2}}{36}$ et $\frac{x^{3}}{216}$ .

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x^{3}}{216} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Étape 1.5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

Étape 2

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Étape 2.1

Déplacez $\frac{1}{27}$ .

$\frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{1}{27}$

Étape 2.2

Déplacez $\frac{x}{18}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27}$

Étape 2.3

Remettez dans l’ordre $\frac{x^{2}}{36}$ et $\frac{x^{3}}{216}$ .

$\frac{x^{3}}{216} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27}$