Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + y = 0$

Étape 2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = - y$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + x y + y^{2} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = y$ et $c = y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.7

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

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Étape 4.4.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.7

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- y + y i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.4

Factorisez $y$ à partir de $- y + y i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.4.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 + y i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.4.2

Factorisez $y$ à partir de $y i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.4.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Étape 4.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Étape 4.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

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Étape 4.5.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.7

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- y - y i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- y - y i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.5.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 - y i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.4.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.5.4.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.5.4.2

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$x = \frac{y (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Étape 4.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Étape 4.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$