Pré-calcul Exemples

$\frac{t}{\sqrt{t^{2} - 45}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{t^{2} - 45}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$t^{2} - 45 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $t$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’inégalité.

$t^{2} \geq 45$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{t^{2}} \geq \sqrt{45}$

Étape 2.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| t | \geq \sqrt{45}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{45}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$| t | \geq \sqrt{9 (5)}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| t | \geq \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Étape 2.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| t | \geq | 3 | \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$| t | \geq 3 \sqrt{5}$

Étape 2.4

Écrivez $| t | \geq 3 \sqrt{5}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$t \geq 0$

Étape 2.4.2

Dans la partie où $t$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$t \geq 3 \sqrt{5}$

Étape 2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$t < 0$

Étape 2.4.4

Dans la partie où $t$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- t \geq 3 \sqrt{5}$

Étape 2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} t \geq 3 \sqrt{5} & t \geq 0 \\ - t \geq 3 \sqrt{5} & t < 0 \end{cases}$

Étape 2.5

Déterminez l’intersection de $t \geq 3 \sqrt{5}$ et $t \geq 0$ .

$t \geq 3 \sqrt{5}$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $- t \geq 3 \sqrt{5}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $- t \geq 3 \sqrt{5}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t}{1} \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

Étape 2.6.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$ .

$t \leq - 1 \cdot (3 \sqrt{5})$

Étape 2.6.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (3 \sqrt{5})$ comme $- (3 \sqrt{5})$ .

$t \leq - (3 \sqrt{5})$

Étape 2.6.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$t \leq - 3 \sqrt{5}$

Étape 2.7

Déterminez l’union des solutions.

$t \leq - 3 \sqrt{5}$ ou $t \geq 3 \sqrt{5}$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{t}{\sqrt{t^{2} - 45}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{t^{2} - 45} = 0$

Étape 4

Résolvez $t$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{t^{2} - 45}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t^{2} - 45}$ comme ${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(t^{2} - 45)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$t^{2} - 45 = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$t^{2} - 45 = 0$

Étape 4.3

Résolvez $t$ .

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Étape 4.3.1

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’équation.

$t^{2} = 45$

Étape 4.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{45}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{45}$ .

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$t = \pm \sqrt{9 (5)}$

Étape 4.3.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Étape 4.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \pm 3 \sqrt{5}$

Étape 4.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = 3 \sqrt{5}$

Étape 4.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - 3 \sqrt{5}$

Étape 4.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Étape 4.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{t^{2} - 45} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $t$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3 \sqrt{5}] \cup [3 \sqrt{5}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${t | t \leq - 3 \sqrt{5}, t \geq 3 \sqrt{5}}$

Étape 6