Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{2}} = 4 x$

Étape 3.4

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.1.1.2

Simplifiez

$y = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${(4 x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$y = 4^{2} x^{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 x^{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 {(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2}$

Étape 5.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Étape 5.2.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Étape 5.2.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Étape 5.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (16 x^{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{{(16 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $16 x^{2}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{16^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Étape 5.3.3.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Étape 5.3.3.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.3.3.7

Simplifiez

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (16 x^{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$