Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Étape 2.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Étape 2.3

Résolvez $u$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 2.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 2.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 2.3.4

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 2.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 2, - 1$

Étape 2.4

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Étape 2.5

Résolvez $2 = e^{x}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Étape 2.5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 2.5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 2.5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 2.5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 2.6

Remplacez $u$ par $- 1$ dans $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Étape 2.7

Résolvez $- 1 = e^{x}$ .

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Étape 2.7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Étape 2.7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Étape 2.7.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 1)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.7.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 1$

Aucune solution

Étape 2.8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (2)$

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq \ln (2)$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ comme ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Étape 4.3.1.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 4.3.1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 4.3.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $e^{x} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Définissez $e^{x} - 2$ égal à $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Étape 4.3.3.2

Résolvez $e^{x} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} = 2$

Étape 4.3.3.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 4.3.3.2.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 4.3.3.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 4.3.3.2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 4.3.4

Définissez $e^{x} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Définissez $e^{x} + 1$ égal à $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Étape 4.3.4.2

Résolvez $e^{x} + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} = - 1$

Étape 4.3.4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Étape 4.3.4.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 1)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3.4.2.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - 1$

Aucune solution

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ vraie.

$x = \ln (2)$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(\ln (2), \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > \ln (2)}$

Étape 6