Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2 x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{2 x}$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{2 (x + h)}$

Étape 3.1.2

La réponse finale est $\frac{1}{2 (x + h)}$ .

$\frac{1}{2 (x + h)}$

Étape 3.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{2 (x + h)}$

$f (x) = \frac{1}{2 x}$

$f (x + h) = \frac{1}{2 (x + h)}$

$f (x) = \frac{1}{2 x}$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{2 (x + h)} - (\frac{1}{2 x})}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Pour écrire $\frac{1}{2 (x + h)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{2 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{2 x}}{h}$

Étape 5.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{1}{2 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{2 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 5.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 (x + h)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{2 (x + h) x} - \frac{1}{2 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x}{2 (x + h) x} - \frac{x + h}{2 x (x + h)}}{h}$

Étape 5.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $2 (x + h) x$ .

$\frac{\frac{x}{2 x (x + h)} - \frac{x + h}{2 x (x + h)}}{h}$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x - (x + h)}{2 x (x + h)}}{h}$

Étape 5.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x - x - h}{2 x (x + h)}}{h}$

Étape 5.1.5.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{0 - h}{2 x (x + h)}}{h}$

Étape 5.1.5.3

Soustrayez $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- h}{2 x (x + h)}}{h}$

Étape 5.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{h}{2 x (x + h)}}{h}$

Étape 5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{h}{2 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{h}{2 x (x + h)}$ dans le numérateur.

$\frac{- h}{2 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{2 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 1}{2 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 x (x + h)}$

Étape 5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 x (x + h)}$

Étape 6