Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ comme une équation.

$y = 2 (x^{7} + 2)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 (y^{7} + 2)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 (y^{7} + 2) = x$ .

$2 (y^{7} + 2) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 (y^{7} + 2) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (y^{7} + 2) = x$ par $2$ .

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y^{7} + 2$ par $1$ .

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ .

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Étape 3.5.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

Étape 3.5.5

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ est l’inverse de $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Étape 5.2.3

Associez $\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ et $\sqrt[7]{2}$ en un radical unique.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

Étape 5.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{7} + 2) - 4$ .

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Étape 5.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

Étape 5.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

Étape 5.2.5

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x^{7}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Étape 5.2.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.6.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x^{7}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Étape 5.2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Étape 5.2.6.2

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ comme $x - 4$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.2.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{2}$ comme $2^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

Étape 5.3.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

Étape 5.3.3.3.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Étape 5.3.3.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Étape 5.3.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Étape 5.3.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Étape 5.3.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 5.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.5.1

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Étape 5.3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

Étape 5.3.6.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ est l’inverse de $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$