Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ est indéfinie.

$x = 2$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1.1

Réécrivez $- x^{3}$ comme ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

Étape 5.1.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = - x$ et $b = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 5.1.1.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 5.1.1.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 5.1.1.4.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.1.1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 5.1.1.4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 5.1.1.4.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Étape 5.1.1.4.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.1.2.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.1.2.4.1

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.1.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2

Développez $- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ .

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Étape 5.2.1

Inversez $3 x^{4} - 2 x + 1$ .

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.3

Développez $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.7

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.8

Remettez dans l’ordre $x$ et $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.9

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.10

Multipliez $2$ par $x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.13

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.18

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

Étape 5.3.19

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Étape 5.3.20

Déplacez $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

Étape 5.3.21

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

Étape 5.3.22

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

Étape 5.3.23

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

Étape 5.3.24

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

Étape 5.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 5.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 5.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

Étape 5.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

Étape 5.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

Étape 5.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

Étape 5.10

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

Étape 5.11

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Étape 5.12

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - 3 x$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 2$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - 3 x$

Étape 7