Pré-calcul Exemples

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 12 x + 9 = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Étape 2.2.4

Réécrivez le polynôme.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9 \geq 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9 \geq 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Vrai

$x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{3}{2}$ ou $x \geq \frac{3}{2}$

Étape 2.8

Associez les intervalles.

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4