Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ comme une équation.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 = x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} - x = - 8$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = - 8 + x$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 8 + x)$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{5} = 5 (- 8 + x)$

Étape 3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{3}} = 5 (- 8 + x)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $5 (- 8 + x)$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{\frac{1}{3}} = 5 \cdot - 8 + 5 x$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 8$ .

$y^{\frac{1}{3}} = - 40 + 5 x$

Étape 3.5

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Étape 3.6

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.6.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Étape 3.6.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Étape 3.6.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Étape 3.6.1.1.2

Simplifiez

$y = {(- 40 + 5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez ${(- 40 + 5 x)}^{3}$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = {(- 40)}^{3} + 3 {(- 40)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.1.2.1

Élevez $- 40$ à la puissance $3$ .

$y = - 64000 + 3 {(- 40)}^{2} (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.2

Élevez $- 40$ à la puissance $2$ .

$y = - 64000 + 3 \cdot 1600 (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $1600$ .

$y = - 64000 + 4800 (5 x) + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.4

Multipliez $5$ par $4800$ .

$y = - 64000 + 24000 x + 3 \cdot - 40 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.5

Multipliez $3$ par $- 40$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 120 {(5 x)}^{2} + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 120 (5^{2} x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 120 (25 x^{2}) + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.8

Multipliez $25$ par $- 120$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + {(5 x)}^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.9

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + 5^{3} x^{3}$

Étape 3.6.2.1.2.10

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$y = - 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + 125 x^{3}$

Étape 3.7

Simplifiez $- 64000 + 24000 x - 3000 x^{2} + 125 x^{3}$ .

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Étape 3.7.1

Déplacez $- 64000$ .

$y = 24000 x - 3000 x^{2} + 125 x^{3} - 64000$

Étape 3.7.2

Déplacez $24000 x$ .

$y = - 3000 x^{2} + 125 x^{3} + 24000 x - 64000$

Étape 3.7.3

Remettez dans l’ordre $- 3000 x^{2}$ et $125 x^{3}$ .

$y = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{3} - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 ({(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{3} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{5^{3}} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.2.2

Simplifiez

Étape 5.2.3.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})}^{2} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{5^{2}}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}{5^{2}}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5^{2}}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.6

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + 3 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.7

Associez $3$ et $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 8 + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.8

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25} \cdot 8$ .

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Étape 5.2.3.2.8.1

Associez $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{25}$ et $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.8.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + 3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.9

Associez $3$ et $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8^{2} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.10

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 64 + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.11

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 64$ .

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Étape 5.2.3.2.11.1

Associez $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ et $64$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 64}{5} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.11.2

Multipliez $64$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8^{3}) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.2.12

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125} + \frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 512) - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = 125 (\frac{x}{125}) + 125 (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 5.2.3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 125 (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 5.2.3.4.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 25 (5) (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 25 \cdot (5 (\frac{24 x^{\frac{2}{3}}}{25})) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 5 (24 x^{\frac{2}{3}}) + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.3

Multipliez $24$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 125 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 (25) (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (25 (\frac{192 x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 25 (192 x^{\frac{1}{3}}) + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.5

Multipliez $192$ par $25$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 125 \cdot 512 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.4.6

Multipliez $125$ par $512$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2} + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez ${(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)}^{2}$ comme $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 ((\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.6

Développez $(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8)) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.7.1.1

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.7.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{1 + 1}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{5 \cdot 5} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} \cdot 8 + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.4

Associez $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ et $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 8}{5} + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.5

Déplacez $8$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{8 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.6

Associez $8$ et $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 \cdot 8) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.1.7

Multipliez $8$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.7.2

Additionnez $\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ et $\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + 2 (\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $2 \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

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Étape 5.2.3.8.1

Associez $2$ et $\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{2 (8 x^{\frac{1}{3}})}{5} + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.8.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} + \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} + 64) + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 3000 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25} - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10

Simplifiez

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Étape 5.2.3.10.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 5.2.3.10.1.1

Factorisez $25$ à partir de $- 3000$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 + 25 (- 120) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 + 25 \cdot (- 120 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{25}) - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 3000 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 3000$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 (- 600) (\frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot (- 600 \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{5}) - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 600 (16 x^{\frac{1}{3}}) - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10.3

Multipliez $16$ par $- 600$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 3000 \cdot 64 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.10.4

Multipliez $- 3000$ par $64$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 24000 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) - 64000$

Étape 5.2.3.11

Appliquez la propriété distributive.

Étape 5.2.3.12

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.12.1

Factorisez $5$ à partir de $24000$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 5 (4800) (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5}) + 24000 \cdot 8 - 64000$

Étape 5.2.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 5 \cdot (4800 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5})) + 24000 \cdot 8 - 64000$

Étape 5.2.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 24000 \cdot 8 - 64000$

Étape 5.2.3.13

Multipliez $24000$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 120 x^{\frac{2}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 120 x^{\frac{2}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $120 x^{\frac{2}{3}}$ de $120 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 + 0 - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} - 192000 + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 192000 - 64000$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 192000$ et $192000$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 64000$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 64000 - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 64000$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $64000$ de $64000$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 4800 x^{\frac{1}{3}} - 9600 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $9600 x^{\frac{1}{3}}$ de $4800 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x - 4800 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 4800 x^{\frac{1}{3}} + 4800 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 4800 x^{\frac{1}{3}}$ et $4800 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$

Étape 5.3.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}}}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 5.3.4

Associez $8$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}}}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5}$

Étape 5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}} + 8 \cdot 5}{5}$

Étape 5.3.6

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000) = \frac{{(125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000)}^{\frac{1}{3}} + 40}{5}$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{5} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} - 3000 x^{2} + 24000 x - 64000$