Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ comme une équation.

$y = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(y - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(y - 7)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 7)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$y - 7 = x^{3}$

Étape 3.4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x^{3} + 7$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ est l’inverse de $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 7$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

Étape 5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = (x - 7) + 7$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x - 7 + 7$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 7 + 7$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{3} + 7)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} + 7) = {((x^{3} + 7) - 7)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(x^{3} + 7) - 7$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (x^{3} + 7) = {(x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f (x^{3} + 7) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{3} + 7) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x^{3} + 7) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x^{3} + 7) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$ est l’inverse de $f (x) = {(x - 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 7$