Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{y + 8} = 7 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y + 8}}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y + 8}$ comme ${(y + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 8)}^{1} = {(7 x)}^{3}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$y + 8 = {(7 x)}^{3}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(7 x)}^{3}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 x$ .

$y + 8 = 7^{3} x^{3}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$y + 8 = 343 x^{3}$

Étape 3.6

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$y = 343 x^{3} - 8$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 {(\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})}^{3} - 8$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ comme $x + 8$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 8}$ comme ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}) - 8$

Étape 5.2.3.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Étape 5.2.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Étape 5.2.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Étape 5.2.3.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Étape 5.2.3.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $343$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 8 - 8$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 8 - 8$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (343 x^{3} - 8)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{(343 x^{3} - 8) + 8}}{7}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3} + 0}}{7}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $343 x^{3}$ et $0$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $343 x^{3}$ comme ${(7 x)}^{3}$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (343 x^{3} - 8) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$