Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ est indéfinie.

$x = - 2, x = 2$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 2$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 2$ depuis la droite, $x = - 2$ est une asymptote verticale.

$x = - 2$

Étape 3

Comme $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la droite, $x = 2$ est une asymptote verticale.

$x = 2$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 2, 2$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + x^{2}$ .

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Étape 8.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Étape 8.1.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{x^{2} - 4}$

Étape 8.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 4}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 8.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 8.2

Développez $x^{2} (x + 1)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 8.2.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 8.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 8.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 8.3

Développez $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 8.3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 8.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 8.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 8.3.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

Étape 8.3.10

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

Étape 8.3.11

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 - 4 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

Étape 8.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Étape 8.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Étape 8.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Étape 8.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 - 4$

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Étape 8.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

$4 x$

$4$

Étape 8.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + 1 + \frac{4 x + 4}{x^{2} - 4}$

Étape 8.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x + 1$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 2, 2$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x + 1$

Étape 10