Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ comme une équation.

$y = \sqrt[4]{x - 2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[4]{y - 2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[4]{y - 2} = x$ .

$\sqrt[4]{y - 2} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{y - 2}}^{4} = x^{4}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 2)}^{1} = x^{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$y - 2 = x^{4}$

Étape 3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x^{4} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(\sqrt[4]{x - 2})}^{4} + 2$

Étape 5.2.3

Réécrivez ${\sqrt[4]{x - 2}}^{4}$ comme $x - 2$ .

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Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 2$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 2$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{4}{4}} + 2$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{4}{4}} + 2$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = (x - 2) + 2$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{4} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{(x^{4} + 2) - 2}$

Étape 5.3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{x^{4} + 0}$

Étape 5.3.4

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{x^{4}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{4} + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$