Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{7} - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{7} - 4$ comme une équation.

$y = x^{7} - 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{7} - 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{7} - 4 = x$ .

$y^{7} - 4 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{7} = x + 4$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[7]{x + 4}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$ est l’inverse de $f (x) = x^{7} - 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (x^{7} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = \sqrt[7]{(x^{7} - 4) + 4}$

Étape 5.2.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Étape 5.2.4

Additionnez $x^{7}$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[7]{x + 4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(\sqrt[7]{x + 4})}^{7} - 4$

Étape 5.3.3

Réécrivez ${\sqrt[7]{x + 4}}^{7}$ comme $x + 4$ .

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Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x + 4}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 4$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 4$

Étape 5.3.3.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{7}{7}} - 4$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{7}{7}} - 4$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = (x + 4) - 4$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = x + 4 - 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$ est l’inverse de $f (x) = x^{7} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$