Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ comme une équation.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ comme $\sqrt[3]{y^{7}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

Étape 3.1.2.2

Réécrivez $y^{7}$ comme ${(y^{2})}^{3} y$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Factorisez $y^{6}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

Étape 3.1.2.2.2

Réécrivez $y^{6}$ comme ${(y^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

Étape 3.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

Étape 3.1.3

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

Étape 3.2

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ .

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

Étape 3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y}$ comme $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Simplifiez $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $16384$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Étape 3.5.1.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Étape 3.5.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Étape 3.5.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

Étape 3.5.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

Étape 3.5.1.2.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

Étape 3.6

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{7}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 3.7.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 3.7.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.7.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.7.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.1.1.2

Simplifiez

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.2.1

Simplifiez ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 3.7.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $16384 x$ .

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.2.1.1.2

Réécrivez $16384$ comme $4^{7}$ .

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.2.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.2.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.7.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

Étape 3.7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

Étape 5.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

Étape 5.2.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Étape 5.2.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Étape 5.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Étape 5.2.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $64 x^{\frac{3}{7}}$ comme ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

Étape 5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Étape 5.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Divisez $x^{\frac{1}{7}}$ par $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Étape 5.3.4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Étape 5.3.4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$