Pré-calcul Exemples

$\frac{b^{3} - 8}{b^{2} - 9} \cdot \frac{b + 3}{b^{2} + 2 b + 4}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{b^{3} - 8}{b^{2} - 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$b^{2} - 9 = 0$

Étape 2

Résolvez $b$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$b^{2} = 9$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$b = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$b = \pm 3$

Étape 2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$b = 3$

Étape 2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$b = - 3$

Étape 2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$b = 3, - 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{b + 3}{b^{2} + 2 b + 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$b^{2} + 2 b + 4 = 0$

Étape 4

Résolvez $b$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $b$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 4.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$b = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 4.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$b = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$b = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $b$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${b | b \neq 3, - 3}$

Étape 6