Pré-calcul Exemples

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $400$ aux deux côtés de l’équation.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- 25 x^{2} + 200 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $200$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{100}{- 25}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $- 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $200$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $40000$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $400$ .

$e = 400$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Étape 1.3

Remplacez $- 25 x^{2} + 200 x$ par $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ dans l’équation $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Étape 1.4

Déplacez $400$ du côté droit de l’équation en ajoutant $400$ des deux côtés.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $9 y^{2} - 90 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 90$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 45}{9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 45$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 5}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $- 5$ par $1$ .

$d = - 5$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 90$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $8100$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $225$ .

$e = 0 - 225$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Étape 1.6

Remplacez $9 y^{2} - 90 y$ par $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ dans l’équation $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Étape 1.7

Déplacez $- 225$ du côté droit de l’équation en ajoutant $225$ des deux côtés.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Étape 1.8

Simplifiez $400 - 400 + 225$ .

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Étape 1.8.1

Soustrayez $400$ de $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Étape 1.8.2

Additionnez $0$ et $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $225$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Étape 5.2.1.3

Associez $\frac{5}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.4.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Étape 5.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Étape 5.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 20$ et $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Étape 5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Étape 6.2

Simplifiez $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Étape 6.2.1.4.2

Associez $4$ et $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Étape 6.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Étape 6.2.1.5

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Étape 6.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $20$ et $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ et $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Asymptotes : $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Étape 9