Pré-calcul Exemples

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ .

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $1$ plus $- 6$

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 90$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.25$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $0.40625$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $- 10$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.9.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Étape 2.9.4.3

Le côté gauche $234$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ ou $x \geq 3$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

Étape 4