Pré-calcul Exemples

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - y^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = y^{2}$

Étape 2.2

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| x | = | y |$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | y |$

Étape 2.3.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = | y |$

Étape 2.3.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - | y |$

Étape 2.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 y$ et $c = y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2 y$ et $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

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Étape 4.3.1.3.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.1.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.1.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1.3.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.3.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.4

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

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Étape 4.3.1.3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.5

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.3.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.6

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1.3.7.1

Multipliez $0$ par $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3.7.2

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.6

$2 y$ plus ou moins $0$ est $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 y}{2}$

Étape 4.3.3.2

Divisez $y$ par $1$ .

$x = y$

Étape 4.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = y$ Racines doubles

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 x + 10 y = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $10 y$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 10 y$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 10 y$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 10 y$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10 y}{5}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $5$ .

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Étape 6.2.2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10 y$ .

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5}$

Étape 6.2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 (1)}$

Étape 6.2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 \cdot 1}$

Étape 6.2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 2 y}{1}$

Étape 6.2.2.3.1.2.4

Divisez $- 2 y$ par $1$ .

$x = - 2 y$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$