Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 \sqrt{x}$ comme une équation.

$y = 5 \sqrt{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 \sqrt{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 \sqrt{y} = x$ .

$5 \sqrt{y} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $5 \sqrt{y} = x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \sqrt{y} = x$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{y}$ par $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

Étape 3.4.3.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{25}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ est l’inverse de $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Étape 5.2.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Étape 5.2.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Étape 5.2.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Étape 5.2.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Étape 5.2.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Étape 5.2.3.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{25})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $\frac{x^{2}}{5^{2}}$ comme ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ est l’inverse de $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$