Pré-calcul Exemples

$\sqrt{\sqrt{x^{2}} - 1}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} \geq 0$

Étape 2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{\sqrt{x^{2}} - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x^{2}} - 1 \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x^{2}} \geq 1$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x^{2}}}^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{2}}$ .

${(x^{\frac{2}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.2

Divisez $2$ par $2$ .

${(x^{1})}^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{1})}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{1 \cdot 2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} \geq 1^{2}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} \geq 1$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Étape 4.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | \geq 1$

Étape 4.4.3

Écrivez $| x | \geq 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.4.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.4.3.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 1$

Étape 4.4.3.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.4.3.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 1$

Étape 4.4.3.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.4.4

Déterminez l’intersection de $x \geq 1$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Étape 4.4.5

Divisez chaque terme dans $- x \geq 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.5.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.4.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.5.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x \leq - 1$

Étape 4.4.6

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Étape 6