Pré-calcul Exemples

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$ est indéfinie.

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{3}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 6.1.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x (9 x^{2} + 3 (x) - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.2.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 3$ plus $6$

$\frac{x (9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x ((9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$\frac{x ((3 x - 1) (3 x + 2))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 6.1.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 (x) - 2}$

Étape 6.1.2.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 3$ plus $6$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2}$

Étape 6.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2}$

Étape 6.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1)}$

Étape 6.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $3 x + 2$ .

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Étape 6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Étape 6.1.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x$

Étape 6.2

Comme il n’y a pas de partie polynomiale issue de la portion division polynomiale, il n’y a aucune asymptote oblique.

Aucune asymptote oblique

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 8