Pré-calcul Exemples

$\frac{5}{2}$ , $2$ , $\frac{8}{5}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{4}{5}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{4}{5}$

Étape 2

La somme d’une série $S_{n}$ est calculée avec la formule $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Pour la somme d’une série géométrique infinie $S_{\infty}$ , lorsque $n$ approche de $\infty$ , $1 - r^{n}$ approche de $1$ . Ainsi, $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ approche de $\frac{a}{1 - r}$ .

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Étape 3

Les valeurs $a = \frac{5}{2}$ et $r = \frac{4}{5}$ peuvent être placées dans l’équation $S_{\infty}$ .

$S_{\infty} = \frac{\frac{5}{2}}{1 - \frac{4}{5}}$

Étape 4

Simplifiez l’équation pour déterminer $S_{\infty}$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{\infty} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{5}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$S_{\infty} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{\infty} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 4}{5}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $4$ de $5$ .

$S_{\infty} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{\infty} = \frac{5}{2} \cdot (1 \cdot 5)$

Étape 4.3.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$S_{\infty} = \frac{5}{2} \cdot 5$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.4.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $5$ .

$S_{\infty} = \frac{5 \cdot 5}{2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$S_{\infty} = \frac{25}{2}$