Pré-calcul Exemples

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 8 x^{3}$ comme une équation.

$y = 8 x^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 8 y^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $8 y^{3} = x$ .

$8 y^{3} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $8 y^{3} = x$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y^{3} = x$ par $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\frac{x}{8}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{3}$ dans $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

Étape 3.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Étape 3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 8 x^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (8 x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Étape 5.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Étape 5.3.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 8 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$