Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x + 9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{x + 9}$ comme une équation.

$y = \sqrt{x + 9}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y + 9}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y + 9} = x$ .

$\sqrt{y + 9} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 9}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 9}$ comme ${(y + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 9)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$y + 9 = x^{2}$

Étape 3.4

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 9$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{x + 9})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(\sqrt{x + 9})}^{2} - 9$

Étape 5.2.3

Réécrivez ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ comme $x + 9$ .

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Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 9}$ comme ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} - 9$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = (x + 9) - 9$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 9 - 9$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 9 - 9$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 9}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 9)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{(x^{2} - 9) + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (x^{2} - 9) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} - 9) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$